本文主要在考慮某類二階橢圓型偏微分方程式解的不存在問題，共分為三部分。

在第一部分中，首先利用均值函數之方法（此法曾見於〔Ｎ〕及〔Ｃ〕等多篇文獻

）來研究如下之二階積分－微分方程式，

╭

(0.1) △u ＝ K(x)h(u)＋H(│x│)│ a(│y│)q(u(y))dy

╯R□

，x R□,n ＞ 2 ，在此

▔

(1) △表示ｎ維的拉氏(Laplace) 運算子。

(2) K(．),H(．) 及 a(．) 是局部赫德 (Holder) 連續的非負函數。

σ δ

(3) h(．) 及 q(．) 滿足適當的條件，如 〞ｈ(ｕ) ＝ ｕ 及ｑ(ｕ)＝ｕ ”

δｕ σｕ

或 ”ｈ(ｕ)＝ｅ 及 ｑ(ｕ)＝ｅ ” 。

當 H(．)≡0 時，鄭國順教授及林震燦教授〔Ｃ〕，已証明當γ足夠大時，若存在

某一正常數Ｃ，使得

__ Ｃ

Ｋ(γ) ＞ ──

▔ γ□

__

（在此Ｋ表示函數Ｋ之均值函數），則方程式(0.1) 在Ｒ□中不存在任何正〔有界

〕的解。

令我們感興趣的是當 H(．)≡0 時，在那些條件下會有類似的結果發生。本文證明

，當γ足夠大時，若存在某正常數Ｃ使得

__ ╭ ∞ n-1 Ｃ

Ｋ(γ) ＋ Ｈ(γ) │ a(ρ)ρ dρ ＞ ───

╯γ ▔ γ□'

則可經由詹森氏(Jensen's)不等式及赫德不等式，利用反證法去得到類似的結果。

在第二部份中，將研究下列之擬線性微分方程式解的不存在問題，

╭

(0.2) ．[g(│ u│) u]＝K(│x│)h(u)＋H(│x│)│ a(│y│)

╯R□

q(u(y))dy, x R□,n ＞ 2 ，在此

▔

(1) u 表示ｕ的梯度。

__

(2) ｇ:Ｒ ──→Ｒ 屬於 Ｃ〔0,p□〕∩Ｃ□（0,p□）,p□ 為區間〔0,∞〕

□ □

中之某一常數。

(3) (pg(p))'＞0 對所有的p (0,p□)。

(4) K(．),H(．) 及a(．) 均為局部赫德 (Holder)-連續的非負函數。

σ δ

(5) h(．)及 g(．) 滿足適當的條件，如”h(u)＝u 及 q(u)＝u 〞 或〞h(u)＝

σu δu

e 及 q(u)＝e ”。

首先定義函數ψ如下

ψ＝pg(│p│) p R.

若ψ的反函數存在，則可經由赫德不等式推導出一積分不等式，接著可利用此不等

式經由反證法得到下列的結果：

(Ⅰ)在下列條件下

(a) 0 ＜ g(p) ＜ kp□ ，對任意非負常數ｍ及正常數ｋ以及所有p＞0均成立

。▔ ▔

(b) ｍ及ｎ滿足〞m＞0 且 n＞2〞 或〞m＝0 且 n＞ 3〞。

▔ ▔

Ｃ

(c) 當γ足夠大時，存在正常數Ｃ，使得 K(r) ＞ ──── 成立。

▔ γm+2

，當 H(．)≡0 時，方程式(0.2) 在 R□中不存在正〔有界〕的放射性解。

(Ⅱ)如果 g(．),K(．),H(．)及a(．) 滿足

(a) 對任意正常數ｋ及所有實數 p, 0 ＜ g(p) ＜ k ＜ ∞ 恆成立。

▔ ▔

(b) 在γ足夠大時，存在正常數Ｃ使得

╭ ∞ n-1 Ｃ

K(γ)＋H(γ) │ a(ρ)ρ dρ ＞ ───

╯γ ▔ γ□

，則當 H(．)≡0 時，方程式(0.2) 在 R□中不存在正〔有界〕的放射性解。

在第三部份中，主要在處理如下之擬線性微分方程式的正放射解之不存在問題，

╭

│ ．[g(│ u│) u]＝f(│x│,u) x Ω,

(0.3) ＜ u(x)＝0 x Ω,

│ u(x) 0 x Ω,

╰

在此Ω為 R□中之一球。

在[NT],[NM] 及 [NS] 中，作者利用波氏 (Pohozaev) 不等式去證明方程式(0.3)

在ｆ只含變數ｕ時，解的不存在結果。

在本文，將去探討當ｆ含變數ｕ及ｒ時，在何種條件下會使方程式(0.3) 不存在正

放射性解。首先，經由假設方程式(0.3) 存在正放射性解，吾人得到一個一般化的

波氏不等式，然後將其應用於部份擬線性橢圓型偏微分方程式上（如拉氏運算子，

平均曲率運算子及一般化平均曲率運算子），並去證明這些方程式在Ω上不存在任

何正放射性解。

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