論文提要:
我們常常希望去估計一個大母體中各種不同領域內的參數值，而在抽樣實驗之前整個母體想法被分層。當實驗的總預算有限，若選取一組簡單隨機樣本來估計這些母數，可能不是很嚴密，因此實驗者必須先決定一個有效且可行的抽樣方法。
本文中利用雙重抽樣的技巧抽取樣本，而想要估計的母數是母體第j領域所佔全母體的成數，並在固定的預算下討論貝氏最佳樣本與子樣本數的選取。
Smith及Sedransk(1982)利用雙重抽樣法研究魚群體的年齡組成，並解決了二個問題(I)利用貝氏法，估計第j領域年齡的魚群所佔全體魚群的成數；(II)當總預算固定，並給定第一階段樣本數nˊ及其分配nˊ=(n1ˊ,n2ˊ,---,nIˊ)，說明如何選取最佳的貝氏子樣本數分配n0*=(n01*,n02*,---,n0I*)，使得近似的風險函數r*(nˊ,{nˊ1},{n1})最小，其中0≦n_1≦ńˊ1 (i=1,2,--,I)，(註1)。而後Jinn,　Sedransk,　Smith(1987)延續以上結果，利用電腦模擬取樣，在必然的n1ˊ≦ń≦nuˊ條件下，說明如何取得最佳的ń使得A(nˊ))=Enˊ{r* (nˊ(nˊ,n0ˊ*)}最小，(註2)。
由於在一般情況下無法求得A(n ́)的明確數學式，因此n ́_0也就無法求出來。
本文首先考慮I=2的情況，在這情況下說明如何求得A(n ́)的明確數學式，並由此求出最佳的貝氏解n ́_0 。其次在忽略限制條件下，導出由Lagrange乘數法所得的解n*=n01*,n02*)恆滿足(I) n01*≧0的充要條件;或(II) n〖01〗^*≦n ́_1的充分條件；或(III)0≦n〖01〗^*≦n ́_1的充分條件;或(IV) n〖01〗^*≦n ́_1的必要條件;或(V) 0≦n1*≦n1ˊ,n〖02〗^*)的必要條件，i=1,2。

[註1]:Smith,P. J. and Sedransk, J. (1982).Bayesian Optimization of the Estimation of the Age Composition of a Fish Population. Journal of American Statistical Association 77,707-713.
[註2]:J. H. Jinn J. Sedransk and Philip Smith. (1987).Optimal Two-Phase Stratified Sampling for Estimation of the Age Composition of a Fish Population.BIOMETRICS 43,343-353.
[註3]:Cochran,W. G. (1977).Sampling Techniques,3rd edition 327-328. New-York:Wiley.
[註4]:實驗之前母體無法被分層，可在第一階段抽樣後，利用這個變數，觀察所抽取的樣本，而將母體分層。是一個與定義母體各領域的變數有某種相關的輔助變數。
[註5]:實際推定P.J時，K矩陣表示研究者對於不同母數的重視程度。{kJJ}的選取依實驗的目的而定，若研究者對所有母數有相同的興趣，則取kJJ=1，J。若研究者對母數的部分集合S特別有興趣，則可選取{kJJ}使min{kJJ ϵ S}/max{k_JJ ϵ S}相當大。(看Smith及Sedransk(1982)所做的說明)
[註6]: DEGROOT, MORRIS H. (1970),Optimal Statistical Decisions. New York :McGraw-Hill.P234。