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這篇論文的目的，是要推廣學長的論文《一個環狀排列的公式》，欲藉由波利亞計數方法，來建立一個可計算任何珠狀排列問題的公式。為了達到這個目的，需要對循環群的概念及正n邊形群的結構做些介紹；並且說明伯恩賽定理及波利亞計數方法的內容；最後，利用波利亞計數定理，整理出珠狀排列的公式，並舉出實例，以顯示其實用價值。
The purpose of this thesis is to expand the conclusion of the thesis ”A Formula for Calculating Circular Permutations”, we want to establish a formula that can calculate any type of the necklace permutations by the Pólya’ s enumeration method . Firstly , we introduce the concept of the cyclic groups , and discuss the structure of the dihedral group . Secondly , we illustrate the Burnside theorem , and the Pólya’ s enumeration method . Finally , we conclude the formula for calculating necklace permutations . And we also give several examples to reveal the results .
致謝辭------------------------------------------------ I
摘要-------------------------------------------------- II
Abstract--------------------------------------------- III
目次-------------------------------------------------- IV
1. 前言----------------------------------------------- 1
2. 理論方法-------------------------------------------- 2
2.1 循環群 (cyclic group) 的簡介----------------------- 2
2.2 循環節 (cycle) 的應用------------------------------ 6
2.3 正 邊形群 (dihedral group) 的簡介------------------ 8
2.4 循環指標式 (Cycle Index Polynomial)---------------- 13
2.5 群對集合的作用-------------------------------------- 18
2.6 伯恩賽定理 (Burnside theorem) 及其應用--------------- 23
2.7 波利亞計數方法 (Pólya’ s enumeration method) 的綜合說明 28
3. 實證----------------------------------------------- 33
3.1 環狀排列的公式-------------------------------------- 33
3.2 珠狀排列的公式-------------------------------------- 35
3.3 珠狀排列的實例-------------------------------------- 38
4. 結論----------------------------------------------- 49
4.1 正多面體的對稱轉動----------------------------------- 49
4.2 未來展望------------------------------------------- 52
5. 參考文獻-------------------------------------------- 54
中、英文名詞對照表--------------------------------------- 55
[1] Alan Tucker (2007,5th edition). Applied Combinatorics. John Wiley & Sons Inc.
[2] John B. Fraleigh (2002,7th edition). A First Course In Abstract Algebra. Addison Wesley.
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