最佳控制分佈參數系統之靈敏性分析及低靈敏性設計提要
朱欽國
本論文旨在研究最佳控制分佈參數系統之靈敏性分析及低敏性設計。所討論之系統有
二類：一類為藉熱傳導式表示系統方程式者，另一類為藉波動式表示者。處理熱傳導
式系統，可用二種不同方法以求得迴授控制律；而處理波動式系統乃用另一方法以設
計一開啟環路控制型之控制變數序列。
第一方法是選用一三重積分式之二次式性能指數，其積分式之被積函數包含狀態變數
，控制變數，狀態（軌跡）靈敏函數及控制靈敏函數。藉動態規劃法(technique of
dynamic programming)，從Hamilton-Jacobi 方程式導出迴授控制律，乃一包含狀態
變數及狀態靈敏函數之函數。其迴授增益(feedback gains)可以由三個聯立類似Ricc
ati積分一偏微分方程式之解求得，然後用等徵函數(eigen-function)
展開式去求得此系統之分析的解答。
第二方法是首先藉模型分析(model analysis)方法將熱傳導方程式化為一組無交互關
聯(non-interacting) 之常微分方程式，再用聚集系統(lumpedparameter systems)
之最佳化理論(optimization theory) 作為靈敏性研究的技巧，作出一積分式二次式
性能指數，此性能指數乃包含模型狀態變數，模型控制變數，模型狀態靈敏函數及模
型控制靈敏函數。於是最佳模型的系統迴授控制律便可容易地從此性能指數之極小化
法而導出。其迴授增益乃可由解三個代數方程式之根而得。
此二種方法雖然不同，但其結果均相同。二者之結果均指示此種最佳控制分佈參數系
統之低靈敏性設計就較少靈敏性而論乃優於該系統之普通最佳控制。至於在數學的運
算方面，後方法比前方法乃更甚簡單。
關於藉波動方程式描述之分佈參數系統，輸送電線為著名於電機工程中之標準型分佈
參數系統，故將其選來詳細研究。此輸送電線在受端聯接一電阻負載(load)。送端電
壓與受端電壓之關係可用一系統轉移函數(transfer function) 表示，而此系統轉移
函數是由系統動態方程式之拉氏變換(Laplace transformation)導出。對此系統轉移
函數作反拉氏變換，便得到在時間領域(time domain) 之受端電壓與送端電壓之關係
式。用送端電壓作為控制變數以便控制受端電壓在最少週期數時間中由零初值至所欲
值。控制變數序列被分為未受限制者及受限制者二種情形加以研究，發現此二種情形
之最佳控制乃非為扳一扳(bang-band) 式而是梯階函數(staircase function)。其次
對於受端電壓受負載電阻微變影響之靈敏性函數在此亦作分析。因此系統屬於開啟環
路控制型，故甚難求得其低靈性設計。
最後得到結論：對於直線性分佈參數系統作最佳控制及低靈敏性之系統設計，若所控
系統屬於熱傳導式者，先用莫型分析方法化偏微分方程式為一組常微分程式，然後用
最佳化法來處理，則甚易得到一最佳及低靈敏性控制律；若所控系統屬於波動式者，
其欲受最佳時間控制之設計，則其難求得一最佳迴授控制律。故對於後者系統不宜於
作最佳及低靈敏性控制而只宜於作最少時間週期數之控制。