壹、引言

近年來，訊號傳送的途徑，已擺脫了傳統上著重管線傳送的優勢；有愈來愈多的訊號

彌漫在廣闊的空間裡，而這種無線式的傳送所需面臨的問題是：不具有排它性，任何

有接收器材的非原始接收者都可以截聽到訊息，由於因應而生的保密技術格外受矚目

，密碼學（CRYPTOGRAPHY）便是滿足此需要的學問。本論文所探討的排列多項式（PE

RMUTATION POLYNOMIAL）是密碼學中重要的工具之一。

貳、論文主體

所謂排列多項式，即是佈於代數體上的多項式，把此多項式當成函數而作用於代數體

（FIELD ）上，如果此函數具有一對一的性質，則是排列多項式。即

ｆ（ｘ）＝ａ。+ ａ1 ｘ1 + ....ａnｘn ≡ Ｆq〔Ｘ〕且

ｆ（ａ）╪ｆ（ｂ），ａ，ｂ≡Ｆｑ，ａ╪ｂ．

在論文中，介紹先進學者對排列多項式的認識。如：LAGRANGE'S INTERPOLATION是利

用函數值來描繪多項式，著名的學者CARLITZ ，利用特殊多項式來合成出排列多項式

，論文中有更進一步的合成法提出，而HERMITE 跟DICKSON 學者則提出Ft函數其冪次

的變化情形，來判別排列多項式之是否，是最通俗的判別理論。

此外，由吾人所蒐集的資料中發現，在祗有兩項的多項式中，被發現到其它更簡捷快

速的判別方法，故二項式的多項式的探討是本論文的第一主題，對於

k j

Ｘ＋ｂｘ ≡Ｆｑ〔Ｘ〕， 給予固定類型的ｑ，ｋ，ｊ情形下，祗須檢定ｂ是否具特

殊性質就可決定是否為排列多項式，這是一種方法。另有學者並不固定ｑ，ｋ，ｊ，

反而從ｑ，ｋ，ｊ數字下手，找尋出某種關連性，其結果使得係數ｂ，只有當ｂ＝０

，時才有機會是排列多項式，乘下單項式的判別過程，就很容易了。另外還有一種方

法也是找尋ｑ，ｋ，ｊ間的關係，不過其結果在找出：多項式為非排列多項式，是比

較特別的地方。上述三方法，本論文網羅大部份有關論文，綜合各家之長，並適當給

予一同於原作者的新觀點證明方法。

至於本論文第二主題是著名的CARLITZ'S CONJECTURE此預測敘述：對於任何具有最高

冪次是偶數的多項式，必定存在一個自然數ｋ，使得給定的代數體，其元素個數只要

超過ｋ，則此多項式必定不是排列多項式。此預測當degree n=10,12,14, and 2m 時

已被證實為真。本論文僅就n=2m，做系統地探討及重新證明。

參、結語

本論文所論的兩主題，對於佈於代數體上的多項式是否為排列多項式，在判別的過程

上應有相當的助益才是。